Q 什麼是期望值???



在概率和統計學中，一個隨機變數的期望值（或期待值）是變數的輸出值乘以其機率的總和，換句話說，期望值是該變數輸出值的平均數。期望值並不一定包含於變數的輸出值集合裡。



簡單的說最是把可能出現的值乘上他出現的機率然後加總



1. 擲三枚公正的硬幣，若出現X個正面，則可獲得2X元，若皆未出現正面則輸8元，則期望值為?



(正正正)出現機率為1/8可以拿6元

(正正反)出現機率為1/8可以拿4元

(正反正)出現機率為1/8可以拿4元

(反正正)出現機率為1/8可以拿4元

(正反反)出現機率為1/8可以拿2元

(反反正)出現機率為1/8可以拿2元

(反正反)出現機率為1/8可以拿2元

(反反反)出現機率為1/8可以拿-8元

所以期望值為

1/8*(6+4+4+4+2+2+2-8)=16/8=2





2. 同時投擲二粒公正的骰子一次，若二粒骰子出現的點數相同可得220元，否則需賠50元，則此次投擲所得金額的期望值为多少元?



出現一樣點數的情況如下

(1,1) (2,2) (3,3) (4,4) (5,5) (6,6)

有6種

所有可能有6*6=36種

所以兩個點數一樣機率是6/36

所以兩個點數不一樣機率是30/36



所以期望值

6/36*220+30/36*(-50)=-5



3. 某校學生當中有10%為原住民身分學生，85%為一般生，5%為身心障礙，大學入學考試結果，原住民學生考上大學的比例是60%，一般生考上的比例是80%，而身心障礙學生考上的比例是40%。今從該校任選一人，已知此人已考上大學，求其為一般生的機率。



已經知道

P(原著民)=0.1

P(一般生)=0.85

P(身心障礙)=0.05

P(上大學 | 原著民)=0.6

P(上大學 | 一般生)=0.8

P(上大學 | 身心障礙)=0.4



所以

P(上大學 and 原著民)=P(上大學 | 原著民)*P(原著民)=0.6*0.1=0.06

P(上大學 and 一般生)=P(上大學 | 一般生)*P(一般生)=0.8*0.85=0.68

P(上大學 and 身心障礙)=P(上大學 | 身心障礙)*P(身心障礙)=0.4*0.05=0.02

P(上大學)=P(上大學 and 原著民)+P(上大學 and 一般生)+P(上大學 and 身心障礙)=0.06+0.68+0.02=0.76



所求

P(一般生 | 上大學)=P(上大學 and 一般生)/P(上大學)

=0.68/0.76=0.8947368421

Q 什麼是期望值???

這是一個概念，不好解釋，簡單來說就是該事件發生的機率乘上該事件發生後所獲得的結果



1. 擲三枚公正的硬幣，若出現X個正面，則可獲得2X元，若皆未出現正面則輸8元，則期望值為?



會發生一個正面的機率 3/8 所獲得的為 2

會發生兩個正面的機率 3/8 所獲得的為 4

會發生三個正面的機率 1/8 所獲得的為 6

都沒出現正面的(三個皆反面的)機率是 1/8 所獲得的為 -8



2 * 3/8 + 4 * 3/8 + 6 * 1/8 - 8 * 1/8 = 2(元)





2. 同時投擲二粒公正的骰子一次，若二粒骰子出現的點數相同可得220元，否則需賠50元，則此次投擲所得金額的期望值为多少元?



兩粒同點的機率是 1/6 獲得220

兩粒不同點的機率是 5/6 獲得 -50



1/6 * 220 - 5/6 * 50 = -5(元)



3. 某校學生當中有10%為原住民身分學生，85%為一般生，5%為身心障礙學生，大學入學考試結果，原住民學生考上大學的比例是60%，一般生考上的比例是80%，而身心障礙學生考上的比例是40%。今從該校任選一人，已知此人已考上大學，求其為一般生的機率。



分成



一般生 85% ------>上大學80%

原住民 10% ------>上大學60%

身心障礙 5% ------>上大學40%



在此人已考上大學且為一般生的條件下

85*80 / (10*60 + 85*80 + 5 *40) = 17 / 19





(列式應該都正確，以上倘若有計算錯誤請原諒。)